Jak zmaksymalizować 2x₁ + 3x₂ przy danych ograniczeniach liniowych?

Pytanie

Maksymalizuj f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ pod warunkiem:

• 4x₁ + 5x₂ ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ ≤ 9;
• x₁ ≥ 0;
• x₂ ≥ 0.

Wyjaśnienie

Ponieważ x₁ ≥ 0:

2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8.

Pierwsza nierówność wynika z 2 ≤ 27/8 i x₁ ≥ 0; druga wynika z 9x₁ + 8x₂ ≤ 9.

Sprawdź, czy granica została osiągnięta w (0, 9/8):

• 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ = 9;
• obie zmienne są nieujemne.

Punkt jest wykonalny, a jego obiektywna wartość wynosi 27/8. Górna granica jest zatem maksymalną wartością.