Jak rozwiązać 2 sin²x – 5 cos x – 4 = 0?

Pytanie

Rozwiąż 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0 i wybierz poprawną odpowiedź.

Wybór odpowiedzi

1. x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
2. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. x = −1/2; x = −2.
4. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ; x = ± arccos(−2) + 2πn, n ∈ ℤ.

Wyjaśnienie

Użyj sin²x = 1 − cos²x:

2(1 − cos²x) − 5 cos x − 4 = 0.

Zbieranie terminów daje:

2 cos²x + 5 cos x + 2 = 0,

(2 cos x + 1)(cos x + 2) = 0.

Zatem cos x = −1/2 lub cos x = −2. Druga wartość jest niemożliwa dla rzeczywistego x, ponieważ −1 ≤ cos x ≤ 1. Zatem x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.