Jak rozwiązać cos(π/2 + 2x) = √2 sin x i znaleźć jego pierwiastki na [−3π, −3π/2]?

Pytanie

a) Rozwiąż cos(π/2 + 2x) = √2 sin x. b) Znajdź pierwiastki w przedziale domkniętym [−3π, −3π/2].

Wybór odpowiedzi

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −3π.

Wyjaśnienie

Stosując cos(π/2 + 2x) = −sin 2x otrzymujemy:

−2 grzech x cos x = √2 grzech x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

Istnieją dwa przypadki:

1. grzech x = 0, dając x = πk;
2. cos x = −√2/2, co daje x = ±3π/4 + 2πk.

Pierwsza rodzina wnosi −3π i −2π do [−3π, −3π/2]. Drugi wnosi −11π/4. Lewy punkt końcowy -3π jest uwzględniony, ponieważ przedział jest zamknięty.