如何在给定线性约束下最大化 2x₁ + 3x₂？

问题

在以下条件下最大化 f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂：

• 4x₁ + 5x₂ ≤ 7；
• 7x₁ + 4x₂ ≤ 8；
• 9x₁ + 8x₂ ≤ 9；
• x₁ ≥ 0；
• x₂ ≥ 0。

解释

由于 x₁ ≥ 0：

2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8。

第一个不等式由 2 ≤ 27/8 和 x₁ ≥ 0 得出；第二个由 9x₁ + 8x₂ ≤ 9 得出。

检查该上界是否在 (0, 9/8) 处取到：

• 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7；
• 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8；
• 9x₁ + 8x₂ = 9；
• 两个变量都非负。

该点可行，其目标函数值为 27/8。因此，该上界就是最大值。