如何解 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0？

问题

解 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0 并选择正确答案。

选项

1. x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ。
2. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ。
3. x = −1/2; x = −2。
4. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ; x = ±arccos(−2) + 2πn, n ∈ ℤ。

说明

使用 sin²x = 1 − cos²x：

2(1 − cos²x) − 5 cos x − 4 = 0。

整理项得：

2 cos²x + 5 cos x + 2 = 0，

(2 cos x + 1)(cos x + 2) = 0。

因此 cos x = −1/2 或 cos x = −2。第二个值对实数 x 不可能，因为 −1 ≤ cos x ≤ 1。因此 x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ。