如何解 cos(π/2 + 2x) = √2 sin x，并求其在 [−3π, −3π/2] 上的根？

问题

a) 解 cos(π/2 + 2x) = √2 sin x。b) 求其在闭区间 [−3π, −3π/2] 上的根。

选项

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −13π/4。
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π。
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π。
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −3π。

说明

利用 cos(π/2 + 2x) = −sin 2x，可得：

−2 sin x cos x = √2 sin x，

sin x (−2 cos x − √2) = 0。

有两种情况：

1. sin x = 0，得到 x = πk；
2. cos x = −√2/2，得到 x = ±3π/4 + 2πk。

第一组解在 [−3π, −3π/2] 中贡献 −3π 和 −2π。第二组解贡献 −11π/4。左端点 −3π 被包含在内，因为该区间是闭区间。