MittelMathematik
Wie maximiert man 2x₁ + 3x₂ unter den gegebenen linearen Einschränkungen?
Kurzantwort
Das Maximum beträgt 27/8 = 3.375 und wird bei x₁ = 0, x₂ = 9/8 erreicht.
Frage
Maximieren Sie f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ unter der Voraussetzung:
- 4x₁ + 5x₂ ≤ 7;
- 7x₁ + 4x₂ ≤ 8;
- 9x₁ + 8x₂ ≤ 9;
- x₁ ≥ 0;
- x₂ ≥ 0.
Erklärung
Da x₁ ≥ 0:
2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8 .
Die erste Ungleichung folgt aus 2 ≤ 27/8 und x₁ ≥ 0; die zweite folgt aus 9x₁ + 8x₂ ≤ 9.
Überprüfen Sie, ob die Grenze bei (0, 9/8) erreicht wird:
- 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
- 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
- 9x₁ + 8x₂ = 9;
- beide Variablen sind nicht negativ.
Der Punkt ist machbar und sein objektiver Wert beträgt 27/8. Die Obergrenze ist daher das Maximum.
