Wie löst man 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0?

Frage

Lösen Sie 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0 und wählen Sie die richtige Antwort.

Antwortmöglichkeiten

1. x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
2. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. x = −1/2; x = −2.
4. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ; x = ±arccos(−2) + 2πn, n ∈ ℤ.

Erklärung

Verwenden Sie sin²x = 1 − cos²x:

2(1 − cos²x) − 5 cos x − 4 = 0.

Das Sammeln von Begriffen ergibt:

2 cos²x + 5 cos x + 2 = 0 ,

(2 cos x + 1)(cos x + 2) = 0 .

Somit ist cos x = −1/2 oder cos x = −2. Der zweite Wert ist für reelles x unmöglich, da −1 ≤ cos x ≤ 1. Daher x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.