Wie löst man cos(π/2 + 2x) = √2 sin x und findet seine Wurzeln auf [−3π, −3π/2]?

Frage

a) Lösen Sie cos(π/2 + 2x) = √2 sin x. b) Finden Sie die Wurzeln im geschlossenen Intervall [−3π, −3π/2].

Antwortmöglichkeiten

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −3π.

Erklärung

Mit cos(π/2 + 2x) = −sin 2x erhalten wir:

−2 sin x cos x = √2 sin x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0 .

Es gibt zwei Fälle:

1. sin x = 0, was x = πk ergibt;
2. cos x = −√2/2, was x = ±3π/4 + 2πk ergibt.

Die erste Familie trägt −3π und −2π zu [−3π, −3π/2] bei. Der zweite trägt −11π/4 bei. Der linke Endpunkt −3π ist enthalten, da das Intervall geschlossen ist.