چگونه cos(π/2 + 2x) = √2 sin x را حل می کنید و ریشه های آن را در [−3π, −3π/2] پیدا می کنید؟

سوال

الف) cos(π/2 + 2x) = √2 sin x را حل کنید. ب) ریشه ها را در بازه بسته [-3π, -3π/2] بیابید.

پاسخ به گزینه ها

1. الف) 2πk، ±π/4 + 2πk، k∈ ℤ; ب) -2π، -11π/4، -13π/4.
2. a) πk، ±π/4 + 2πk، k∈ ℤ; ب) -2π، -9π/4، -7π/4، -3π.
3. a) πk، ±3π/4 + πk، k∈ ℤ; ب) -2π، -9π/4، -11π/4، -3π.
4. الف) πk، ±3π/4 + 2πk، k∈ ℤ; ب) -2π، -11π/4، -3π.

توضیح

با استفاده از cos(π/2 + 2x) = −sin 2x به دست می آوریم:

−2 sin x cos x = √2 sin x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0 .

دو مورد وجود دارد:

1. sin x = 0، به x = πk ;
2. cos x = −√2/2، به x = ±3π/4 + 2πk.

خانواده اول −3π و −2π را به [-3π، -3π/2] کمک می کند. دومی به −11π/4 کمک می کند. نقطه پایانی سمت چپ -3π گنجانده شده است زیرا بازه بسته است.