Comment maximiser 2x₁ + 3x₂ sous les contraintes linéaires données ?

Question

Maximisez f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ sous les contraintes suivantes :

• 4x₁ + 5x₂ ≤ 7 ;
• 7x₁ + 4x₂ ≤ 8 ;
• 9x₁ + 8x₂ ≤ 9 ;
• x₁ ≥ 0 ;
• x₂ ≥ 0.

Explication

Puisque x₁ ≥ 0 :

2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8.

La première inégalité découle de 2 ≤ 27/8 et de x₁ ≥ 0 ; la seconde découle de 9x₁ + 8x₂ ≤ 9.

Vérifions que la borne est atteinte en (0, 9/8) :

• 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7 ;
• 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8 ;
• 9x₁ + 8x₂ = 9 ;
• les deux variables sont non négatives.

Le point est faisable et sa valeur objective est 27/8. La borne supérieure est donc le maximum.