Comment résolvez-vous 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0 ?

Question

Résolvez 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0 et choisissez la bonne réponse.

Choix de réponses

1. x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
2. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. x = −1/2 ; x = −2.
4. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ ; x = ±arccos(−2) + 2πn, n ∈ ℤ.

Explication

Utilisez sin²x = 1 − cos²x :

2(1 − cos²x) − 5 cos x − 4 = 0.

La collecte des termes donne :

2 cos²x + 5 cos x + 2 = 0,

(2 cos x + 1)(cos x + 2) = 0.

Ainsi cos x = −1/2 ou cos x = −2. La deuxième valeur est impossible pour x réel, puisque −1 ≤ cos x ≤ 1. Donc x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.