Comment résoudre cos(π/2 + 2x) = √2 sin x et trouver ses racines sur [−3π, −3π/2] ?

Question

a) Résolvez cos(π/2 + 2x) = √2 sin x. b) Trouver les racines dans l'intervalle fermé [−3π, −3π/2].

Choix de réponses

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ ; b) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ ; b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ ; b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ ; b) −2π, −11π/4, −3π.

Explication

En utilisant cos(π/2 + 2x) = −sin 2x, on obtient :

−2 péché x cos x = √2 péché x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

Il y a deux cas :

1. sin x = 0, donnant x = πk ;
2. cos x = −√2/2, ce qui donne x = ±3π/4 + 2πk.

La première famille contribue −3π et −2π à [−3π, −3π/2]. Le second contribue −11π/4. L'extrémité gauche −3π est incluse car l'intervalle est fermé.