मध्यमगणित
आप दिए गए रैखिक अवरोधों के तहत 2x₁ + 3x₂ को अधिकतम कैसे करते हैं?
संक्षिप्त उत्तर
अधिकतम 27/8 = 3.375 है, जो x₁ = 0, x₂ = 9/8 पर प्राप्त होता है।
प्रश्न
f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ को अधिकतम करें, बशर्ते:
- 4x₁ + 5x₂ ≤ 7;
- 7x₁ + 4x₂ ≤ 8;
- 9x₁ + 8x₂ ≤ 9;
- x₁ ≥ 0;
- x₂ ≥ 0.
स्पष्टीकरण
चूँकि x₁ ≥ 0:
2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8 .
पहली असमानता 2 ≤ 27/8 और x₁ ≥ 0 से आती है; दूसरा 9x₁ + 8x₂ ≤ 9 से अनुसरण करता है।
जांचें कि सीमा (0, 9/8) पर प्राप्त हो गई है:
- 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
- 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
- 9x₁ + 8x₂ = 9;
- दोनों चर गैर-नकारात्मक हैं।
बात व्यवहार्य है और इसका वस्तुनिष्ठ मान 27/8 है। इसलिए ऊपरी सीमा अधिकतम है।
