Bagaimana cara menyelesaikan cos(π/2 + 2x) = √2 sin x dan mencari akar-akarnya pada [−3π, −3π/2]?

Pertanyaan

a) Selesaikan cos(π/2 + 2x) = √2 sin x. b) Carilah akar-akar pada interval tertutup [−3π, −3π/2].

Pilihan jawaban

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −3π.

Penjelasan

Menggunakan cos(π/2 + 2x) = −sin 2x, kita memperoleh:

−2 sin x cos x = √2 sin x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

Ada dua kasus:

1. sin x = 0, menghasilkan x = πk;
2. cos x = −√2/2, menghasilkan x = ±3π/4 + 2πk.

Keluarga pertama menyumbangkan −3π dan −2π ke [−3π, −3π/2]. Yang kedua menyumbang −11π/4. Titik akhir kiri −3π disertakan karena intervalnya tertutup.