与えられた線形制約の下で 2x₁ + 3x₂ を最大化するにはどうすればよいでしょうか?

質問

次の条件に従って f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ を最大化します。

• 4x₁ + 5x₂ ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ ≤ 9;
• x₁ ≥ 0;
• x₂ ≥ 0。

説明

x₁ ≥ 0 なので、次のようになります。

2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8。

最初の不等式は 2 ≤ 27/8 および x₁ ≥ 0 から成り立ちます。 2 番目は 9x₁ + 8x₂ ≤ 9 から計算されます。

境界が (0, 9/8) に達していることを確認します。

• 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ = 9;
• 両方の変数が負ではありません。

この点は実現可能であり、その目標値は 27/8 です。したがって、上限は最大値となります。