cos(π/2 + 2x) = √2 sin x を解き、[−3π, −3π/2] の根を求めるにはどうすればよいでしょうか?

質問

a) cos(π/2 + 2x) = √2 sin x を解きます。 b) 閉区間 [−3π, −3π/2] 内の根を求めます。

回答の選択肢

1. a) 2πk、±π/4 + 2πk、k ∈ ℤ; b) −2π、−11π/4、−13π/4。
2. a) πk、±π/4 + 2πk、k ∈ ℤ; b) −2π、−9π/4、−7π/4、−3π。
3. a) πk、±3π/4 + πk、k ∈ ℤ; b) −2π、−9π/4、−11π/4、−3π。
4. a) πk、±3π/4 + 2πk、k ∈ ℤ; b) −2π、−11π/4、−3π。

説明

cos(π/2 + 2x) = −sin 2x を使用すると、次のようになります。

−2 sin x cos x = √2 sin x、

sin x (−2 cos x − √2) = 0。

次の 2 つのケースがあります。

1. sin x = 0、x = πk となります。
2. cos x = −√2/2、x = ±3π/4 + 2πk となります。

最初のファミリーは、−3π と −2π を [−3π, −3π/2] に寄与します。 2 番目は −11π/4 を提供します。区間が閉じているため、左端点 −3π が含まれます。