СреднеМатематика
Как найти максимум 2x₁ + 3x₂ при заданных линейных ограничениях?
Коротко
Максимум — 27/8 = 3,375, достигается при x₁ = 0, x₂ = 9/8.
Условие
Найти максимальное значение f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ при ограничениях: 4x₁ + 5x₂ ≤ 7; 7x₁ + 4x₂ ≤ 8; 9x₁ + 8x₂ ≤ 9; x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0.
Разбор
При x₁ ≥ 0 справедлива оценка:
2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8.
Первое неравенство следует из 2 ≤ 27/8 и неотрицательности x₁, второе — из ограничения 9x₁ + 8x₂ ≤ 9.
Проверим достижимость границы в точке (0; 9/8):
- 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
- 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
- 9x₁ + 8x₂ = 9;
- обе переменные неотрицательны.
Точка допустима, а значение функции равно 27/8. Значит, верхняя граница является максимумом.
