Как решить уравнение 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0?

Условие

Решите уравнение и укажите верный ответ: 2 sin²x − 5·cos x − 4 = 0.

Варианты ответа

1. x = ±π/3 + 2πk, k∈Z
2. x = ±2π/3 + 2πk, k∈Z
3. x = −1/2; x = −2
4. x = ±2π/3 + 2πk, k∈Z; x = ±arccos(−2) + 2πn, n∈Z

Разбор

Используем тождество sin²x = 1 − cos²x:

2(1 − cos²x) − 5 cos x − 4 = 0.

После приведения подобных членов:

2 cos²x + 5 cos x + 2 = 0,

(2 cos x + 1)(cos x + 2) = 0.

Получаем cos x = −1/2 или cos x = −2. Второе значение невозможно для действительного x, поскольку −1 ≤ cos x ≤ 1. Остаётся x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.