Как решить cos(π/2 + 2x) = √2 sin x и найти корни на [−3π; −3π/2]?

Условие

а) Решите уравнение cos(π/2 + 2x) = √2 sin x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; −3π/2].

Варианты ответа

1. а) 2πk, ±π/4 + 2πk, k∈Z; б) −2π; −11π/4; −13π/4
2. а) πk, ±π/4 + 2πk, k∈Z; б) −2π; −9π/4; −7π/4; −3π
3. а) πk, ±3π/4 + πk, k∈Z; б) −2π; −9π/4; −11π/4; −3π
4. а) πk, ±3π/4 + 2πk, k∈Z; б) −2π; −11π/4; −3π

Разбор

По формуле приведения cos(π/2 + 2x) = −sin 2x. Тогда:

−2 sin x cos x = √2 sin x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

Получаем два случая:

1. sin x = 0, откуда x = πk;
2. cos x = −√2/2, откуда x = ±3π/4 + 2πk.

Из первой серии на отрезок [−3π; −3π/2] попадают −3π и −2π. Из второй — −11π/4. Левая граница −3π включена, поскольку задан замкнутый отрезок.