cos(π/2 + 2x) = √2 sin x'i nasıl çözer ve bunun köklerini [−3π, −3π/2] üzerinde nasıl bulursunuz?

Soru

a) cos(π/2 + 2x) = √2 sin x'i çözün. b) [−3π, −3π/2] kapalı aralığındaki kökleri bulun.

Cevap seçenekleri

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −3π.

Açıklama

cos(π/2 + 2x) = −sin 2x'yi kullanarak şunu elde ederiz:

−2 sin x çünkü x = √2 sin x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

İki durum var:

1. sin x = 0, x = πk'yi verir;
2. cos x = −√2/2, x = ±3π/4 + 2πk'yi verir.

İlk aile, −3π ve −2π'nin [−3π, −3π/2]'ye katkıda bulunur. İkincisi −11π/4'ye katkıda bulunur. Aralık kapalı olduğundan sol uç nokta −3π dahil edilmiştir.