كيف تعظّم 2x₁ + 3x₂ تحت القيود الخطية المعطاة؟

السؤال

عظّم f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ تحت القيود التالية:

• 4x₁ + 5x₂ ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ ≤ 9;
• x₁ ≥ 0;
• x₂ ≥ 0.

الشرح

بما أن x₁ ≥ 0:

2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8.

تتبع المتباينة الأولى من 2 ≤ 27/8 و x₁ ≥ 0؛ وتتبع الثانية من 9x₁ + 8x₂ ≤ 9.

تحقق أن الحد يتحقق عند (0, 9/8):

• 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ = 9;
• كلا المتغيرين غير سالبين.

النقطة ممكنة وقيمة الدالة الهدف عندها هي 27/8. لذا فإن الحد العلوي هو القيمة العظمى.