كيف تحل 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0؟

السؤال

حل 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0 واختر الإجابة الصحيحة.

خيارات الإجابة

1. x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
2. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. x = −1/2; x = −2.
4. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ; x = ±arccos(−2) + 2πn, n ∈ ℤ.

الشرح

استخدم sin²x = 1 − cos²x:

2(1 − cos²x) − 5 cos x − 4 = 0.

وبجمع الحدود نحصل على:

2 cos²x + 5 cos x + 2 = 0،

(2 cos x + 1)(cos x + 2) = 0.

إذًا cos x = −1/2 أو cos x = −2. والقيمة الثانية مستحيلة عندما يكون x حقيقيًا، لأن −1 ≤ cos x ≤ 1. لذلك x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.