كيف تحل cos(π/2 + 2x) = √2 sin x وتجد جذورها على [−3π, −3π/2]؟

السؤال

a) حل cos(π/2 + 2x) = √2 sin x. b) أوجد الجذور في الفترة المغلقة [−3π, −3π/2].

خيارات الإجابة

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ؛ b) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ؛ b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ؛ b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ؛ b) −2π, −11π/4, −3π.

الشرح

باستخدام cos(π/2 + 2x) = −sin 2x، نحصل على:

−2 sin x cos x = √2 sin x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

هناك حالتان:

1. sin x = 0، مما يعطي x = πk؛
2. cos x = −√2/2، مما يعطي x = ±3π/4 + 2πk.

تُسهم العائلة الأولى بـ −3π و−2π في [−3π, −3π/2]. وتُسهم الثانية بـ −11π/4. ويُدرج الطرف الأيسر −3π لأن الفترة مغلقة.