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¿Cómo maximizas 2x₁ + 3x₂ bajo las restricciones lineales dadas?
Respuesta breve
El máximo es 27/8 = 3.375, alcanzado en x₁ = 0, x₂ = 9/8.
Pregunta
Maximiza f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ sujeto a:
- 4x₁ + 5x₂ ≤ 7;
- 7x₁ + 4x₂ ≤ 8;
- 9x₁ + 8x₂ ≤ 9;
- x₁ ≥ 0;
- x₂ ≥ 0.
Explicación
Como x₁ ≥ 0:
2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8.
La primera desigualdad se obtiene de 2 ≤ 27/8 y x₁ ≥ 0; la segunda se obtiene de 9x₁ + 8x₂ ≤ 9.
Comprueba que la cota se alcanza en (0, 9/8):
- 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
- 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
- 9x₁ + 8x₂ = 9;
- ambas variables son no negativas.
El punto es factible y su valor objetivo es 27/8. Por tanto, la cota superior es el máximo.
