¿Cómo resuelves cos(π/2 + 2x) = √2 sin x y encuentras sus raíces en [−3π, −3π/2]?

Pregunta

a) Resuelve cos(π/2 + 2x) = √2 sin x. b) Encuentra las raíces en el intervalo cerrado [−3π, −3π/2].

Opciones de respuesta

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −3π.

Explicación

Usando cos(π/2 + 2x) = −sin 2x, obtenemos:

−2 sin x cos x = √2 sin x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

Hay dos casos:

1. sin x = 0, lo que da x = πk;
2. cos x = −√2/2, lo que da x = ±3π/4 + 2πk.

La primera familia aporta −3π y −2π a [−3π, −3π/2]. La segunda aporta −11π/4. El extremo izquierdo −3π se incluye porque el intervalo es cerrado.