Hoe maximaliseer je 2x₁ + 3x₂ onder de gegeven lineaire beperkingen?

Vraag

Maximaliseer f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ onder voorbehoud van:

• 4x₁ + 5x₂ ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ ≤ 9;
• x₁ ≥ 0;
• x₂ ≥ 0.

Uitleg

Sinds x₁ ≥ 0:

2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8.

De eerste ongelijkheid volgt uit 2 ≤ 27/8 en x₁ ≥ 0; de tweede volgt uit 9x₁ + 8x₂ ≤ 9.

Controleer of de grens is bereikt op (0, 9/8):

• 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ = 9;
• beide variabelen zijn niet-negatief.

Het punt is haalbaar en de objectieve waarde ervan is 27/8. De bovengrens is dus het maximum.