Como você resolve cos(π/2 + 2x) = √2 sen x e encontra suas raízes em [−3π, −3π/2]?

Pergunta

a) Resolva cos(π/2 + 2x) = √2 sen x. b) Encontre as raízes no intervalo fechado [−3π, −3π/2].

Opções de resposta

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −3π.

Explicação

Usando cos(π/2 + 2x) = −sin 2x, obtemos:

−2 sen x cos x = √2 sen x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

Existem dois casos:

1. sen x = 0, dando x = πk;
2. cos x = −√2/2, dando x = ±3π/4 + 2πk.

A primeira família contribui com −3π e −2π para [−3π, −3π/2]. O segundo contribui com −11π/4. O ponto final esquerdo −3π está incluído porque o intervalo é fechado.