Як максимізувати 2x₁ + 3x₂ за заданих лінійних обмежень?

Питання

Максимізуйте f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ за умови:

• 4x₁ + 5x₂ ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ ≤ 9;
• x₁ ≥ 0;
• x₂ ≥ 0.

Пояснення

Оскільки x₁ ≥ 0:

2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8.

Перша нерівність випливає з 2 ≤ 27/8 і x₁ ≥ 0; друге випливає з 9x₁ + 8x₂ ≤ 9.

Переконайтеся, що межа досягнута на (0, 9/8):

• 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
• 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
• 9x₁ + 8x₂ = 9;
• обидві змінні невід'ємні.

Бал можливий і його об'єктивне значення становить 27/8. Таким чином, верхня межа є максимальною.