Як розв’язати 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0?

Питання

Розв’яжіть 2 sin²x − 5 cos x − 4 = 0 і виберіть правильну відповідь.

Варіанти відповідей

1. x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
2. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.
3. x = −1/2; x = −2.
4. x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ; x = ±arccos(−2) + 2πn, n ∈ ℤ.

Пояснення

Використовуйте sin²x = 1 − cos²x:

2(1 − cos²x) − 5 cos x − 4 = 0.

Зводячи подібні доданки, отримуємо:

2 cos²x + 5 cos x + 2 = 0,

(2 cos x + 1)(cos x + 2) = 0.

Отже, cos x = −1/2 або cos x = −2. Друге значення неможливе для дійсних x, оскільки −1 ≤ cos x ≤ 1. Отже, x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ.