Як розв’язати cos(π/2 + 2x) = √2 sin x і знайти корені на [−3π; −3π/2]?

Питання

а) Розв’яжіть cos(π/2 + 2x) = √2 sin x. б) Знайдіть корені на замкненому відрізку [−3π, −3π/2].

Варіанти відповідей

1. а) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; б) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. а) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; б) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. а) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ; б) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. а) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; б) −2π, −11π/4, −3π.

Пояснення

Використовуючи cos(π/2 + 2x) = −sin 2x, отримуємо:

−2 sin x cos x = √2 sin x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

Є два випадки:

1. sin x = 0, що дає x = πk;
2. cos x = −√2/2, що дає x = ±3π/4 + 2πk.

Перша сім’я розв’язків дає −3π і −2π на [−3π, −3π/2]. Друга дає −11π/4. Лівий кінець −3π включається, оскільки відрізок замкнений.