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Come si massimizza 2x₁ + 3x₂ sotto i vincoli lineari indicati?
Risposta breve
Il massimo è 27/8 = 3.375, raggiunto a x₁ = 0, x₂ = 9/8.
Domanda
Massimizzare f(x₁, x₂) = 2x₁ + 3x₂ soggetto a:
- 4x₁ + 5x₂ ≤ 7;
- 7x₁ + 4x₂ ≤ 8;
- 9x₁ + 8x₂ ≤ 9;
- x₁ ≥ 0;
- x₂ ≥ 0.
Spiegazione
Poiché x₁ ≥ 0:
2x₁ + 3x₂ ≤ (3/8)(9x₁ + 8x₂) ≤ 27/8.
La prima disuguaglianza segue da 2 ≤ 27/8 e x₁ ≥ 0; la seconda segue da 9x₁ + 8x₂ ≤ 9.
Verificare che il limite sia raggiunto a (0, 9/8):
- 4x₁ + 5x₂ = 45/8 ≤ 7;
- 7x₁ + 4x₂ = 9/2 ≤ 8;
- 9x₁ + 8x₂ = 9;
- Entrambe le variabili sono non negative.
Il punto è fattibile e il suo valore oggettivo è 27/8. Il limite superiore è quindi il massimo.
