Come risolvi cos(π/2 + 2x) = √2 sin x e trovi le sue radici su [−3π, −3π/2]?

Domanda

a) Risolvere cos(π/2 + 2x) = √2 sin x. b) Trovare le radici nell'intervallo chiuso [−3π, −3π/2].

Scelte di risposta

1. a) 2πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −13π/4.
2. a) πk, ±π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −7π/4, −3π.
3. a) πk, ±3π/4 + πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −9π/4, −11π/4, −3π.
4. a) πk, ±3π/4 + 2πk, k ∈ ℤ; b) −2π, −11π/4, −3π.

Spiegazione

Utilizzando cos(π/2 + 2x) = −sin 2x, otteniamo:

−2 sin x cos x = √2 sin x,

sin x (−2 cos x − √2) = 0.

Ci sono due casi:

1. sin x = 0, ovvero x = πk;
2. cos x = −√2/2, ovvero x = ±3π/4 + 2πk.

La prima famiglia contribuisce con −3π e −2π a [−3π, −3π/2]. Il secondo contribuisce −11π/4. L'estremo sinistro −3π è incluso perché l'intervallo è chiuso.